2022年新高考Ⅰ卷第8题的追根溯源
新高考Ⅰ卷第8题为例，从考题点评、追根溯源两个角度来分析它，轻松突破求立体几何取值范围问题的思维瓶颈。
1.试题呈现
【题目】（2022·新高考Ⅰ卷·8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2.考题点评
这道立体几何试题是单选题的压轴题，属于课程学习情境类型题目，文字表述流畅简洁，考查内容丰富，同时题目表述直接明了，生动形象。以正四棱锥的外接球为几何基础，表面上考查的是空间几何体的体积取值范围问题，实际上考查考生利用导数或三元均值不等式解决正四棱锥体积的取值范围问题,考查学生化归与转化思想、空间想象与数学计算能力,以及直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养,意在考查理性思维、数学探索、分析应用.在近六年新课标试卷中,利用导数解决最优化立体几何问题在2017年全国卷Ⅰ理科第16题首次考查,这次是第二次考查.此类考题彰显了规避特殊技巧,凸现数学本质,强调通性通法的深入理解和综合运用,促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构。
3.追根溯源
本题来源于2017人教A版必修第二册第169页复习参考题8第4题:如图,一块边长为10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,把容器的容积(单位:cm)表示为(单位:cm)的函数。
2022年新高考Ⅰ卷第8题仍用本题的正四棱锥的背景,以及把四棱锥的体积表示为某个变量的函数,添加了四棱锥的外接球的背景,在原来的难度上,加大难度,考查了导数最优化问题或三个正数的算术几何平均不等的应用.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予课本例题、习题新的生命,这已成为高考命题的一种新走向.近几年高考试题的命制越来越新颖多变,尤其对立体几何的考查,形式多样,但万变不离其宗,大多数高考题都能在课本中找到其原型.所以我们在高三复习备考的过程中要注意对课本例题、习题的训练,把握其实质、掌握其规律、规范其步骤,做到“胸中有本”。
